Question

【题目】已知函数（其中为自然对数的底数）.

（1）若,求函数在区间上的最大值；

（2）若,关于的方程有且仅有一个根, 求实数的取值范围；

（3）若对任意,不等式均成立, 求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）若a=-1，关于x的方程f（x）=kg（x）有且仅有一个根，即，有且只有一个根，令，可得h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，进而可得当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根；（Ⅲ）设，因为在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）-f（x2）|＜g（x2）-g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，当a≥-（ex+2x）恒成立时，a≥-1；当a≤ex-2x恒成立时，a≤2-2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围

试题解析：（1）当时,, 故在上单调递减,上单调递增, 当时,, 当时,, 故在区间上．

（2）当时, 关于的方程为有且仅有一个实根, 则有且仅有一个实根, 设,则,

因此在和上单调递减, 在上单调递增,, 如图所示, 实数的取值范围是．

（3）不妨设,则恒成立．

因此恒成立, 即恒成立,

且恒成立, 因此和均在上单调递增,

设,

则在上上恒成立, 因此在上恒成立因此,而在上单调递减, 因此时,．由在上恒成立, 因此在上恒成立, 因此,设,则．当时,, 因此在内单调递减, 在内单调递增,因此．综上述,．