Question

已知函数f(x)在R上有定义，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f(ax)=af(x).

（1）证明:f(0)=0；

（2）证明f(x)=其中k和h均为常数；

（3）当（2）中的k＞0时，设g(x)=+f(x)(x＞0)，讨论g(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值.

Answer 1

(1)证明:对于任意的a＞0，x∈R,均有f(ax)=af(x)，①

在①中取a=2,x=0，即得f（0）=2f（0）.

∴f(0)=0.②

(2)证明：当x＞0时,由①得f（x）=f（x·1）=xf（1）.

取k=f（1），则有f（x）=kx,③

当x＜0时，由①得f(x)=f［(-x)·(-1)］=(-x)f(-1).

取h=-f(-1),则有f(x)=hx，④

综合②③④得f(x)=

(3)解:解法1：由（2）中的③知当x＞0时，g(x)=+kx,从而g′(x)=-+k=,x＞0.又因为k＞0,由此可得

X	(0,)		(,+∞)
g′(x)	-	0	+
g(x)		极小值2

所以g（x）在区间（0，）内单调递减，在区间（，+∞）,内单调递增，在x=处取得极小值2.

解法2：由（2）中的③知当x＞0时，g(x)=+kx.

设x₁、x₂∈(0,+∞),且x₁＜x₂,则

g(x₂)-g(x₁)=(k²x₁x₂-1).

又因为k＞0,所以

①当0＜x₁＜x₂＜时，g(x₂)＜g(x₁);

②当0＜＜x₁＜x₂时，g(x₂)＞g(x₁).

所以g(x)在区间(0, )内单调递减，在区间(,+∞)内单调递增，在x=处取得极小值2.