Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和,并且a₁=1,对任意的正整数n,S_n+1=4a_n+2;设b_n=a_n+1-2a_n(n=1,2,3,…).

(1)证明数列{b_n}是等比数列,并求{b_n}的通项公式;

(2)设c_n=,T_n为数列{}的前n项和,求的值.

Answer 1

答案：(1)证明:∵S_n+1=4a_n+2,∴S_n=4a_n-1+2(n≥2).两式相减得a_n+1=4a_n-4a_n-1(n≥2),∴a_n+1=4(a_n-a_n-1)(n≥2).∵b_n=a_n+1-2a_n,

∴b_n+1=a_n+2-2a_n+1=4(a_n+1-a_n)-2a_n+1,b_n+1=2(a_n+1-2a_n)=2b_n(n∈N^*).∴=2.

∴{b_n}是以2为公比的等比数列.

∵b₁=a₂-2a₁,而a₁+a₂=4a₁+2,∴a₂=3a₁+2=5,b₁=5-2=3.∴b_n=3·2^n-1(n∈N^*).

(2)解：c_n==2^n-1,∴.

而,∴T_n=

∴.