Question

若不等式 ax²+bx+4＞0的解集为 {x|-2＜x＜1}，则二次函数y=bx²+4x+a（0≤x≤3）的值域是

[-8，0]

．

Answer 1

分析：由不等式 ax²+bx+4＞0的解集为 {x|-2＜x＜1}，知-2和1是方程ax²+bx+4=0的两个实数根，由此解得a=-2，b=-2，所以二次函数y=bx²+4x+a（0≤x≤3）为y=-2x²+4x-2（0≤x≤3），再由配方法能够求出二次函数y=bx²+4x+a（0≤x≤3）的值域．

解答：解：∵不等式 ax²+bx+4＞0的解集为 {x|-2＜x＜1}，
∴a＜0，-2和1是方程ax²+bx+4=0的两个实数根，
∴

-2+1=- b a -2×1= 4 a

，
解得a=-2，b=-2，
∴二次函数y=bx²+4x+a（0≤x≤3）即为y=-2x²+4x-2（0≤x≤3），
∵y=-2x²+4x-2=-2（x-1）²，0≤x≤3，
∴x=1时，y=-2x²+4x-2=-2（x-1）²有最大值0，
x=3时，y=-2x²+4x-2=-2（x-1）²有最小值-8．
∴函数的值域是[-8，0]．
故答案为：[-8，0]．

点评：本题考查二次函数的值域，是基础题．解题时要认真审题，注意一元二次不等式的性质的灵活运用．