Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=

2

，AB=1，AD=2，E为BC的中点，点M为棱AA₁的中点．
（1）证明：DE⊥平面A₁AE；
（2）证明：BM∥平面A₁ED．

Answer 1

分析：（1）欲证DE⊥平面A₁AE，根据线面垂直的判定定理可知只需证AE⊥DE，A₁A⊥DE，即可；
（2）设AD的中点为N，连接MN、BN，由线线平行推出面面平行，再由平面BMN∥平面A₁ED，可推出BM∥平面A₁ED．

解答：证明：（1）在△AED中，AE=DE=

2

，AD=2，
∴AE⊥DE．
∵A₁A⊥平面ABCD，
∴A₁A⊥DE，
∴DE⊥平面A₁AE．
（2）设AD的中点为N，连接MN、BN．
在△A₁AD中，AM=MA₁，AN=ND，∴MN∥A₁D，
∵BE∥ND且BE=ND，
∴四边形BEDN是平行四边形，
∴BN∥ED，
∴平面BMN∥平面A₁ED，
∴BM∥平面A₁ED．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．