Question

【题目】已知椭圆的离心率是，上顶点B是抛物线的焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上的两个动点，且(是坐标原点），试问：点到直线的距离是否为定值？若是，试求出这个定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）原点到直线的距离为定值.

【解析】

试题（1）由题意，根据离心率，可得，又，即可求解椭圆的方程；

（2）由直线的斜率不存在时，可求解；由直线的斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆的方程，根据韦达定理，可得，代入化简，进而得到点到直线的距离为定值。

试题解析：（Ⅰ）由题设知 ①

又 ②

所以椭圆的标准方程为

（Ⅱ）若直线轴，设直线，并联立椭圆方程解出，，

，，由得；

若直线不平行轴，设直线，，，代入椭圆的方程消得，设，，，，由韦达定理得 ③， ④，由得，

即 ，即，

即 ⑤

把③、④代入⑤并化简得 ，所以

原点到直线的距离定值．