Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式f（x）≥4x恒成立．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设g（x）=kx+1，若F（x）=log₂[g（x）-f（x）]在区间[1，2]上是增函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）f（0）=1?c=1，f（1）=4?a+b+c=4

∴f(x)=ax2+(3-a)x+1 f(x)≥4x即ax2-(a+1)x+1≥0恒成立得 由 a＞0 (a+1)2-4a≤0 ?a=1 ∴f(x)=x2+2x+1

（2）F（x）=log₂（g（x）-f（x））=log₂（-x²+（k-2）x）
由F（x）在区间[1，2]上是增函数得h（x）=-x²+（k-2）x在[1，2]上为增函数且恒正
故

k-2 2 ≥2 -1+k-2＞0

?k≥6，
实数k的取值范围k≥6．