Question

(文)设是定义在R上的任一函数，

(1)求证：为奇函数；为偶函数；

(2)请你根据(Ⅰ)以任一定义在R上的函数为例，构造出一个奇函数和一个偶函数.

Answer 1

（1）略（2）F（x）=2^x－2^-x和G（x）=2^x＋2^-x

解析:

（1）证明：设x为R上的任一实数， 则F（-x）=f（-x）－f（x）=-[f（x）－f（-x）]=－F（x）

所以：F（x）为奇函数；―――――――――――――――――――――――――３分

设x为R上的任一实数，则G（-x）=f（-x）＋f（x）=G（x）

所以：G（x）为偶函数；―――――――――――――――――――――――――6分

(2)设定义在R上的函数f（x）为f（x）=2^x,则可构造出奇函数为：F（x）=2^x－2^-x；―――9分

偶函数为：G（x）=2^x＋2^-x；―――――――――――――――――――――――――――12分

 (只要定义域为R的函数均可)