Question

已知5cos²α+4cos²β=4cosα，则cos²α+cos²β的取值范围是

[0，

16

25

]

．

Answer 1

分析：记x=cosα，则 cos²β=- 

5

4

x2+x≥0，解得0≤x≤

4

5

，把要求的式子化为  -

1

4

（x-2）²+1，故x=

4

5

时，cos²α+cos²β取最大值；x=0时，cos²α+cos²β取最小值，从而得到
cos²α+cos²β 的取值范围．

解答：解：记x=cosα，则 cos²β=- 

5

4

x2+x≥0，解得0≤x≤

4

5

 （而不是0≤x≤1，此步非常关键，大部分同学都会在此处疏漏，导致答案错误）．
∴cos²α+cos²β=x² -

5

4

x2+x=-

x2

4

+x=-

1

4

（x-2）²+1，由单调性可知，
x=

4

5

时，cos²α+cos²β取得最大值为

16

25

；x=0时，cos²α+cos²β取得最小值为0，即cos²α+cos²β 的取值范围是[0，

16

25

]．
故答案为：[0，

16

25

]．

点评：本题主要考查三角函数的最值的求法，二次函数在闭区间上的最值的求法，属于中档题．