Question

（2004•宁波模拟）（文）如图，已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，F₁，F₂分别是它的左、右焦点，P₂P⊥F₁F₂，交双曲线于P点，连接F₁P交双曲线于另一点Q，分别与双曲线的渐近线交于A，B，且∠F₁PF₂=60°．
（1）求双曲线的离心率；（2）求

|PQ|

|AB|

的值．

Answer 1

分析：（1）△F₁F₂P中，|F₁F₂|=2c∠F₁PF₂=60°，故|F1P|=

4C

3

，|F2P|=

2C

3

，由此能求出双曲线的离心率．
（2）由e=

3

，知b²=2a²，设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

2a2

=1，直线PF₁：y=

3

3

(x+c)，则5x2-2

3

ax-9a2=0，由此能求出

|PQ|

|AB|

的值．

解答：解：（1）△F₁F₂P中，|F₁F₂|=2c∠F₁PF₂=60°
∴|F1P|=

4C

3

，|F2P|=

2C

3

…（2分）
∴|F1P|-|F2P|=

2C

3

=2a，
∴e=

c

a

=

3

…（5分）
（2）∵e=

3

，
∴b²=2a²，
设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

2a2

=1，
即2x²-y²=2a²，①…（7分）
直线PF₁：y=

3

3

(x+c)，
即y=

3

3

(x+

3

a)，②…（8分）
由①②得5x2-2

3

ax-9a2=0
∴|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

1+ 1 3

•

12a2+180a2

5

=

16

5

a…（11分）
再由双曲线的渐进线方程2x²-y²=0，
∴|AB|=

4 6

5

a，
∴

|PQ|

|AB|

=

2 6

3

．…（13分）

点评：题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．