Question

已知函数f（x）=x²-2ax+a．
（1）当a=1时，求函数f（x）在[0，3]上的值域；
（2）是否存在实数a，使函数f（x）=x²-2ax+a的定义域为[-1，1]，值域为[-2，2]？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，f（x）=（x-1）²，根据定义域为[0，3]，f（x）在[0，1）上单调减，在（1，3]上单调增，求得函数的值域．
（2）由条件可得二次函数的对称轴为x=a，分当a≥1时、当0≤a＜1时、当-1≤a＜0时三种情况，根据定义域为[-1，1]，值域为[-2，2]，分别利用二次函数的性质求得a的值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x²-2ax+a，a=1，∴f（x）=（x-1）²，
∵x∈[0，3]，∴f（x）在[0，1）上单调减，在（1，3]上单调增，
∴最小值为f（1）=0，而 f（0）=1 f（3）=4，
∴函数的值域为[0，4]．
（2）当a≥1时，由于f（x）在[-1，1]上是减函数，可得

f(-1)=2 f(1)=-2

，故有

a= 1 3 a=3

（舍去）．
当0≤a＜1时，由

f(1)=2 f(a)=-2

，即

1+2a+a=2 a-a2=-2

 （舍去）．
当-1≤a＜0时，由

f(1)=2 f(a)=-2

，即

1-2a+a=2 a-a2=-2

，求得a=-1．
当a＜-1时，由

f(-1)=-2 f(1)=2

，求得

1+2a+a=-2 1-2a+a=2

，解得a=-1（舍去）．
综上所述：a=-1．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的定义域和单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．