Question

函数f(x)=cos(-

x

2

)+cos(

4k+1

2

π-

x

2

)，k∈Z，x∈R．
（1）求f（x）的周期；
（2）若f(α)=

2 10

5

，α∈(0，

π

2

)，求sin(α+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式和两角和的正弦公式及周期公式即可求出；
（2）由已知即可求出sinα，再利用三角函数的平方关系求出cosα，进而利用两角和的正弦公式即可求出．

解答：解：（1）∵f（x）=cos

x

2

+cos(2kπ+

π

2

-

x

2

)=cos

x

2

+sin

x

2

=

2

sin(

x

2

+

π

4

)（k∈Z）．
∴函数f（x）的周期T=

2π

1 2

=4π．
（2）由f(α)=

2 10

5

，得sin

α

2

+cos

α

2

=

2 10

5

，
两边平方并整理得1+sinα=

8

5

，∴sinα=

3

5

．
∵α∈(0，

π

2

)，∴cosα=

1-( 3 5 )2

=

4

5

．
∴sin（α+

π

6

）=sinαcos

π

6

+cosαsin

π

6

=

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

3 3 +4

10

．

点评：熟练掌握三角函数的诱导公式、平方关系式即两角和的正弦余弦公式是解题的关键．