Question

（21）已知数列{x_n}满足x₁=x₂=1，并且

（为非零参数，n=2，3，4，…）.

(Ⅰ)若x₁、x₃、x₅成等比数列，求参数λ的值；

(Ⅱ)设0＜＜1，常数k∈N^*且k≥3，证明

+…+＜(n∈N^*).

Answer 1

本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、等差数列前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力..

（Ⅰ）解：由已知x₁=x₂=1,且

         

若x₁、x₃、x₅成等比数列，则x²₃=x₁x₅,即²=⁶.而≠0，解得=±1.

(Ⅱ)证明：设a_n=,由已知，数列{a_n}是以=1为首项、为公比的等比数列，故=^n-1,则

 

=^n+k-2·^n+k-3……^n-1

=.

因此，对任意n∈N^*，

                         

当k≥3且0＜＜1时，0＜≤1，0＜1-^nk＜1,所以

＜（n∈N^*）.