Question

(2007辽宁，21)已知数列、与函数f(x)、g(x)，xR满足条件：，．

(1)若f(x)=tx＋1(t≠0，t≠2)，g(x)=2x，f(b)≠g(b)，且存在，求t的取值范围，并求(用t表示)；

(2)若函数y=f(x)为R上的增函数，，b=1，f(1)＜1，证明对任意的，．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)解法一：由题设知得．又已知t≠2，可得． 由f(b)≠g(b)，t≠2，t≠0，可知， 所以是等比数列，其首项为， 公比为．于是， 即．又存在，可得 所以－2＜t＜2且t≠0．． 解法二：由题设知， 且t≠2，可得． 由f(b)≠g(b)，t≠2，t≠0，可知，，所以是首项为，公比为的等比数列． ， 即． 由可知，若存在，则存在． 于是可得所以－2＜t＜2且t≠0． ． 解法三：由题设知，即 ，　　　　　　　　　① ，　　　　　　　　② ②－①得， 令，得． 由f(b)≠g(b)，t≠2，t≠0可得，，所以是首项为，公比为的等比数列． 于是， ． 又存在，可得 所以－2＜t＜2且t≠0． ． 说明：数列通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以上评分标准． (2)证明：因为， 所以，即． 下面用数学归纳法证明． ①当n=1时，由f(x)为增函数， 且f(1)＜1，得， ，， 即，结论成立． ②假设n=k时结论成立，即． 由f(x)为增函数，得，即， 进而得，即． 这就是说当n=k＋1时，结论也成立． 根据①和②可知，对任意的，．

提示：

剖析：本题主要考查数列的定义、数列的递推公式、等比数列、函数、不等式等基础知识，考查运用数学归纳法解决问题的能力．