Question

如图是斯特林数三角阵表，表中第r行每一个数等于它右肩上的数的r-1倍再加上它左肩上的数，则此表中：
（1）第6行的第二个数是

274

；
（2）第n+1行的第二个数是

（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）n!

．（用n表示）

Answer 1

分析：（1）由题意可得，第n行共有n个数，第n行的第一个 a_（n，1）=（n-1）!，且 a_{（n+1，2）}=a_（n，1）+na_（n，2）．结合所给的图形可得第6行的第二个数是a_（6，2）=a_（5，1）+5a_（5，2），计算求得结果．
（2）第n+1行的第二个数是 a_（n，1）+na_（n，2）=（n-1）!+na_（n，2），再利用迭代法求得它的值．

解答：解：（1）由题意可得，第n行共有n个数，第n行的第一个 a_（n，1）=（n-1）!，
且 a_{（n+1，2）}=a_（n，1）+na_（n，2）．
结合所给的图形可得第6行的第二个数是a_（6，2）=a_（5，1）+5a_（5，2）=24+5×50=274，
故答案为 274．
（2）第n+1行的第二个数是 a_{（n+1，2）}=a_（n，1）+na_（n，2）=（n-1）!+na_（n，2）
=（n-1）!+n[a_{（n-1，1）}+（ n-1）a_{（n-1，2）}]
=（n-1）!+na_{（n-1，1）}+n（n-1）a_{（n-1，2）}
=（n-1）!+n（n-2）!+n（n-1）[a_{（n-2，1）}+（n-2）a_{（n-2，2）}]
=（n-1）!+n（n-2）!+n（n-1）（n-3）!+（n-2）[a_{（n-3，1）}+（n-3）a_{（n-3，2）}]
=…
=（n-1）!+n（n-2）!+n（n-1）（n-3）!+n（n-2）（n-4）!+…+n!
=（

1

n

+

1

n-1

+

1

n-2

+…+

1

3

+

1

2

+1）n!=（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）n!，
故答案为 （1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）n!．

点评：本题主要考查归纳推理，求得，第n行的第一个 a_（n，1）=（n-1）!，且 a_{（n+1，2）}=a_（n，1）+na_（n，2），是解题的关键，属于中档题．