Question

设函数f(x)=

1+x2

1-x2

．
①求它的定义域；
②判断它的奇偶性；
③求证：f(

1

x

)=-f(x)．

Answer 1

分析：①根据分母不为0，用一元二次不等式求解．
②由①知定义域关于原点对称，考查f（-x）与f（x）的关系，依据定义判断．
③先化简f（

1

x

），然后作比较发现是与-f（x）相等的式子．

解答：解：①由题意得：
1-x²≠0，
∴x≠±1，
∴函数的定义域为：{x|x≠±1}；
②∵定义域关于原点对称，
且f（-x）=

1+(-x) 2

1-(-x) 2

=

1+x 2

1-x 2

=f（x），
∴函数是偶函数；
③∵f(

1

x

)=

1+( 1 x ) 2

1-( 1 x ) 2

=

x2+1

x2-1

=-f（x），
∴f(

1

x

)=-f(x)得证．

点评：本题考查函数的定义域的求法，利用定义判断函数的奇偶性，以及利用对数的运算性质证明等式．属于基础题．