Question

若在直角坐标平面第一象限内,点的坐标(x,y)满足x+y＞n,并且x、y都大于n(n∈N^*)的整点(横、纵坐标均为整数)的个数记为a_n.

(1)求a₃、a₄、a₅并写出数列{a_n}的通项公式a_n=f(n)(不要求证明);

(2)设数列{b_n}满足:b_n=n²-2a_n,T_n=2^n-1b₁+2^n-2b₂+…+2b_n-1+b_n,求T_n.

Answer 1

思路解析:本题第一问可以首先根据不等式,画出对应的平面区域确定出a_n,从而将问题解决;第二问利用错位相减法,从而将问题解决.

解:(1)满足条件的点(x,y)在所表示的平面区域内,如图阴影部分.

不难得出a₃=1,a₄=2,a₅=3,

∴a_n=0+1+2+…+(n-2)=.

(2)∵b_n=n²-2a_n=3n-2,

∴b_n+1-b_n=3.

∴数列{b_n}是以1为首项,公差为3的等差数列.

∵T_n=2^n-1b₁+2^n-2b₂+…+2b_n-1+b_n,

∴T_n=2^n-1+2^n-2·4+…+2(3n-5)+(3n-2),      ①

2T_n=2ⁿ+2^n-1·4+…+2²(3n-5)+2(3n-2).       ②

②-①,得T_n=2ⁿ+3(2^n-1+2^n-2+…+2)-(3n-2)

=2ⁿ+-(3n-2)

=2ⁿ⁺²-3n-4,

∴T_n=2ⁿ⁺²-3n-4.