Question

已知，为其反函数.
（Ⅰ）说明函数与图象的关系（只写出结论即可）；
（Ⅱ）证明的图象恒在的图象的上方；
（Ⅲ）设直线与、均相切，切点分别为（）、（），且，求证：.

Answer 1

(Ⅰ) 关于直线对称；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析.

试题分析：(Ⅰ)原函数与其反函数的图像关于直线对称；(Ⅱ)先求出反函数的解析式：，引入中间函数.先构造函数，利用函数的单调性与导数的关系，求得函数的最小值是，找到关系；再构造函数，利用函数的单调性与导数的关系，求得函数的最小值是，找到关系.从而证得“的图象恒在的图象的上方”；(Ⅲ)先求出以及，根据导数与切线方程的关系，由斜率不变得到，再根据两点间的斜率公式得到.首先由指数函数的性质可得，那么，然后由得到，解得.
试题解析：（Ⅰ）与的图象关于直线对称.    2分
（Ⅱ），设，               4分
令，，
令，解得，
当时，当时；
∴当时，，
∴.                                  6分
令，，
令，解得；
当时，，当时，，
∴当时，，
∴.                             8分
∴的图象恒在的图象的上方.            9分
（Ⅲ），，切点的坐标分别为，可得方程组：
 11分
∵，
∴，∴，
∴.                      12分
由②得，，∴，   13分
∵，∴，∴，即，
∴.              14分