Question

【题目】如图，正方形所在平面与四边形所在平面互相重直，是等腰直角三角形，，，.

（1）求证：平面；

（2）设线段、的中点分别为、，求与所成角的正弦值；

（3）求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）证明，，然后证明平面；

（2）取的中点，连接、，证明，说明与所成角为或其补角，在，求解的正弦值即可；

（3）说明为二面角的平面角．设，则，在中与在中，求解二面角的平面角的正切值．

（1）因为四边形为矩形，则，

因为平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，.

因为为等腰直角三角形，，所以，

又因为，，即，

，因此，平面；

（2）取的中点，连接、，

四边形为正方形，则且，

、分别为、的中点，且，

为的中点，且，且，

则四边形为平行四边形，，

所以与所成的角为或其补角，

由（1）知，平面，平面，，

设，则，，，

在中，.

因此，与所成角的正弦值为；

（3），平面平面，平面平面，平面，平面.

作，交的延长线于，则．从而，平面．

作于，连接，

平面，平面，，

，，平面，

平面，，所以，为二面角的平面角．

，，，，

设，则，，，

在中，，，

在中，.

因此，二面角的平面角的正切值为.