Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+2n=2a_n．
（1）证明：数列{a_n+2}是等比数列．并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），设T_n是数列{

bn

an+2

}的前n项和．求证：Tn＜

3

2

．
（3）若

cn

=

1

2bn

(n∈N*)，且数列{c_n}的前n项和为T_n，比较T_n与

1

6

的大小．

Answer 1

分析：（1）题目给出了递推公式S_n+2n=2a_n，模仿该式写出S_n-1=2（n-1）=2a_n-1，作差后整理可得出数列{a_n+2}是等比数列，然后写出数列{a_n+2}的通项公式，进一步得到数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）运用b_n=log₂（a_n+2）求出b_n，数列{

bn

an+2

}的前n项和可用错位相减法求得，最后把和直截放大即可得结论；
（3）根据

cn

=

1

2bn

(n∈N*)，两边平方后得到数列c_n，cn=

1

(2n+2)2

，结合原题是比较其前n项和与

1

6

的大小，可把式子放大为cn =

1

(2n+2)2-1

，最后采用列项相消求和．

解答：证明：（1）由 S_n+2n=2a_n，得S_n=2a_n-2n，
当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n①，
当n=1S₁=2a₁-2a₁=2，
则n≥2，n∈N^*时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）②
①-②得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴

an+2

an-1+2

=2
∴{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴an+2=4•2n-1
∴an=2n+1-2
（2）证明：由bn=log2(an+2)=log22n+1=n+1，得

bn

an+2

=

n+1

2n+1

则Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

③

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n+1

2n+2

④
③-④得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1

2

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

所以Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

＜

3

2

．
（3）

cn

=

1

1+an

⇒cn=

1

(1+an)2

=

1

(2n+2)2

＜

1

(2n+2)2-1

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)
所以T_n=c₁+c₂+…+c_n＜

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)＜

1

6

所以Tn＜

1

6

．

点评：本题考查的是数列与不等式的综合题，（1）中证明数列{a_n+2}是等比数列时体现了数学中的转化思想；（2）、（3）的求解又集中体现了数列求和的错位相减法和列项相消方法、以及不等式证明中的放缩法，该题综合性强，是难度较大的题目．