Question

设f（x），g（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y），g（x）+g（y）=g（x+y），若，且，则数列{a_nb_n}的前n项和为S_n为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：根据f（x）f（y）=f（x+y），g（x）+g（y）=g（x+y），令x=1，y=n，分别求得数列的通项，b_n=n，再利用错位相减法求数列的和即可．
解答：∵f（x）f（y）=f（x+y），
∴令x=1，y=n可得
∴
∴{a_n}是以为首项，为公比的等比数列
∴
∵g（x）+g（y）=g（x+y），
∴∴令x=1，y=n可得g（1）+g（n）=g（n+1）
∴b_n+1-b_n=g（1）=b₁=1
∴数列{b_n}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴b_n=n
∴数列{a_nb_n}的前n项和为S_n=1×+2×+…+n×
∴S_n=1×+2×+…+（n-1）×+n×
两式相减可得S_n=1×+1×+1×+…+-n×
∴S_n=2--
故选D．
点评：本题考查数列的通项与求和，解题的关键是赋值，确定数列的通项，属于中档题．