Question

（本小题满分14分）
在数列与中，，数列的前项和满足
,为与的等比中项，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列与的通项公式；
（Ⅲ）设.证明.

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ），
（Ⅲ）证明见解析.

本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分


（Ⅰ）解：由题设有，，解得．由题设又有，，解得．
（Ⅱ）解法一：由题设，，，及，，进一步可得，，，，猜想，，．
先证，．
当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下：
（1当时，，等式成立．
（2）假设时等式成立，即，．
由题设，　　
　　　　
①的两边分别减去②的两边，整理得，从而
．
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立．
综上所述，等式对任何的都成立
再用数学归纳法证明，．
（1）当时，，等式成立．
（2）假设当时等式成立，即，那么
．
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立．
解法二：由题设　　
　　　　
①的两边分别减去②的两边，整理得，．所以
　　　　　　　　，
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，．
将以上各式左右两端分别相乘，得，
由（Ⅰ）并化简得，．
止式对也成立．
由题设有，所以，即，．
令，则，即．由得，．所以，即，．
解法三：由题设有，，所以
，
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，．
将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得
，．
由（Ⅰ），上式对也成立．所以，．
上式对时也成立．
以下同解法二，可得，．
（Ⅲ）证明：．
当，时，
．
注意到，故
　．
当，时，
当，时，
．
当，时，
．
所以．
从而时，有
总之，当时有，即．