题目内容
20．对于非空实数集A，定义A*={z|对任意x∈A，z≥x}．设非空实数集C⊆D?（-∞，1]．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有D*⊆C*；
（2）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C*∩D≠∅；
（3）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C∩D*≠∅．
以上命题正确的是（1）（3）．
分析 由A*={z|?x∈A，z≥x}．可知：数集A*是数集A的所有上界组成的集合．进而可通过举例否定（2），对于（1）（3）需要利用集合间的关系去证明．
解答 解：由A*={z|?x∈A，z≥x}．可知：数集A*是数集A的所有上界组成的集合．
（1）分别用Amax、Amin表示集合A的所有元素（数）的最大值、最小值．
由C⊆D及A*的定义可知：Cmax≤C*min，Dmax≤D*min，C*min≤Dmax，
∴C*min≤D*min，∴必有D*⊆C*．故（1）正确．
（2）若设C=（-∞，1）=D，满足C⊆D，而C*={1}，此时C*∩D=∅，故（2）不正确．
（3）若设C=（-∞，0），D=（-∞，1），满足C⊆D，而D*=（0，1），此时C∩D*=∅，故（3）正确．
故答案为：（1）（3）．
点评 本题考查了新定义，理解数集A*是数集A的所有上界组成的集合及集合间的关系是解决问题的关键．
练习册系列答案
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| D． | 在[-π，0]上是增函数，在[0，$\frac{π}{2}$]上是减函数 |