Question

【题目】已知点，在椭圆上，其中为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线经过的上顶点且与抛物线交于，两点，为椭圆的焦点，直线，与分别交于点（异于点），（异于点），证明：直线的斜率为定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）根据条件代入可解

（2）用椭圆的焦点（用右焦点也可以），设的方程为，联立和，设，得到，，又直线的方程为，联立和得到的坐标为，同理，最后得.

解：（1）依题意得

解得，

所以椭圆的方程为

（2）

以椭圆的左焦点为例，则算出来的答案为定值1

证明：由题意知的斜率存在，故设直线的方程为，

由，得．

设，，

则，即且，，．

又直线的方程为，

由，得，

所以，所以，从而的坐标为．

同理可得的坐标为，

所以为定值．

同理：若用椭圆的右焦点，计算方法同上．算出来的答案为定值