Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都为2，AC∩BD=O，则棱AA₁与底面ABCD所成的角为60°，A₁O⊥平面ABCD，F为DC₁的中点．
（1）证明：BD⊥AA₁；
（2）证明：OF∥平面BCC₁B₁；
（3）求二面角D-AA₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先证出BD与面A₁ACC₁内的两条相交直线AC，AA₁垂直，从而证得BD⊥平面A₁ACC₁，∴BD⊥AA₁
（2）先证出OF∥BC₁，再由线面平行的判定定理可证OF∥平面BCC₁B₁
（3）以O为坐标系的原点，分别以OA，OB，OA₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AA₁D的法向量，平面A₁ACC₁的法向量，通过两法向量的夹角去解．

解答：解（1）因为棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都为2，
所以四边形ABCD为菱形，BD⊥AC
又A₁O⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以A₁O⊥BD．
又因为AC∩A₁O=O，AC，A₁O?平面A₁ACC₁，
所以BD⊥平面A₁ACC₁，
因为AA₁?平面A₁ACC₁
所以BD⊥AA₁
（2）连接BC₁，因为四边形ABCD为菱形，AC∩BD=O，
所以O是BD的中点
又因为点F为DC₁的中点，
所以在△DBC₁中，OF∥BC₁，
因为OF?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
所以OF∥平面BCC₁B₁
（3）以O为坐标系的原点，分别以OA，OB，OA₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．因为侧棱AA₁与底面ABCD所成角为60°，A₁O⊥平面ABCD．
所以∠A₁AO=60°，在Rt△A₁AO中，可得AO=1，A1O=

3

，
在Rt△AOB中，OB=

AB2-AO2

=

4-1

=

3

.A(1，0，0)，A1(0，0，

3

)，D(0，-

3

，0)，B(0，

3

，0)
设平面AA₁D的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)．

n1

•

AA1

=0
所以

n

•

AD

=0
因为

AA1

=（-1，0，

3

），

AD

=(-1，-

3

，0)．
-x1+

3

z1=0∴-x1-

3

y1=0，
可设

n

=(

3

，-1，1)，
又因为BD⊥平面A₁ACC₁，所以平面A₁ACC₁的法向量为

n2

=

OB

=(0，

3

，0)，∴cos?

n1

，

n2

＞=

n1 ．n2

|n1 ||n2 |

=

- 3

5 . 3

=-

5

5

因为二面角D-AA₁-C为锐角，
故二面角D-AA₁-C的余弦值是

5

5

．

点评：本题考查直线和直线，直线和平面位置关系及其判定，二面角求解，考查转化的思想方法（空间问题平面化）空间想象能力，计算能力．利用空间向量的知识，则使问题论证变成了代数运算，使人们解决问题更加方便．