Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f(-

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+x)=-f(-x)且f(x)=-f(x+

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)，f（-1）=1f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2011）的值为（　　）

A．-2

B．-1

C．0

D．1

Answer 1

分析：先根据f(-

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+x)=-f(-x)且f(x)=-f(x+

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)，得到其为偶函数，再根据f(x)=-f(x+

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)⇒f（x+3）=-f（x+

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）=f（x）得到周期为3，代入即可得到结论．

解答：解：∵f(-

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+x)=-f(-x)，
∴f（x）=-f（-x-

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），
又因为：f(x)=-f(x+

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)，
∴f（-x-

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）=f（x+

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）．
即f（x）为偶函数，故f（1）=f（-1）=1．
由f(x)=-f(x+

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)⇒f（x+3）=-f（x+

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）=f（x）．
所以周期T=3．
∴f（2）=f（-1）=1，f（3）=f（0）=-2；
∴f（1）+f（2）+…+f（2011）
=670[f（1）+f（2）+f（3）]+f（670×3+1）
=670[1+1+（-2）]+f（1）
=1．
故选：D．

点评：本题主要考查了函数的周期性以及奇偶性，要特别利用好题中关系式f(-

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+x)=-f(-x)且f(x)=-f(x+

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)，这种类型的题目一般都有规律可循．