Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n对?n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）证明：数列是等差数列；要证明数列是等差数列，先根据s_n-s_n-1=a_n，用作差法得到a_n，a_n-1的关系，再用定义证明．
（Ⅱ）若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n对?n∈N^*恒成立，求λ的取值范围，用分离参数法，因为a_n＞0，所以不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n∴，只要5-λ＞的最大值，即可求出λ的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）当n=1时，S₁=2a₁-2²得a₁=4．S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ即a_n=2a_n-1+2ⁿ，
所以．
又，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即a_n=（n+1）•2ⁿ．
因为a_n＞0，所以不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n等价于
设，则b₁=-；b₂=；b₃=；…
∴.∴．
点评：本题考查了通项公式与前n项和公式的关系，等差数列的定义的应用．恒成立问题主要利用分离参数法转化为求最值问题解决．