Question

定义全集U的子集A的特征函数为fA(x)=

1，x∈A 0，x∈CUA

，这里C_UA表示A在全集U中的补集，那么对于集合A、B⊆U，下列所有正确说法的序号是

（1），（2），（3）

．    
（1）A⊆B⇒f_A（x）≤f_B（x）         （2）fCUA（x）=1-f_A（x）
（3）f_A∩B（x）=f_A（x）•f_B（x）      （4）f_A∪B（x）=f_A（x）+f_B（x）

Answer 1

分析：利用特征函数的定义知：（1）由A⊆B，对x与A、B关系分类讨论，可得（1）正确；（2）fCUA(x)=

1，x∈CUA 0，x∈A

=1-f_A（x）；（3）f_A∩B（x）=

1，x∈A∩B 0，x∈CU(A∩B)

=

1，x∈A∩B 0，x∈(CUA∪CUB)

=f_A（x）•f_B（x）；（4）f_A∪B（x）=

0，x∈A∪B 1，x∈CU(A∪B)

≠f_A（x）+f_B（x）．

解答：解：由fA(x)=

1，x∈A 0，x∈CUA

，知：
（1）∵A⊆B，分类讨论：
①当x∈A，则x∈B，此时f_A（x）=f_B（x）=1，
②当x∉A，且x∉B，即x∈?_uB此时f_A（x）=f_B（x）=0，
③当x∉A，且x∈B，即x∈（?_uA）∩B时，f_A（x）=0，f_B（x）=1，此时f_A（x）≤f_B（x），
综合有f_A（x）≤f_B（x），故（1）正确；
（2）fCUA(x)=

1，x∈CUA 0，x∈A

=1-f_A（x），故（2）正确；
（3）f_A∩B（x）=

1，x∈A∩B 0，x∈CU(A∩B)

=

1，x∈A∩B 0，x∈(CUA∪CUB)

=

1，x∈A 0，x∈CUA

•

1，x∈B 0，x∈CUB

=f_A（x）•f_B（x），故（3）成立；
（4）f_A∪B（x）=

0，x∈A∪B 1，x∈CU(A∪B)

≠f_A（x）+f_B（x），故（4）不成立．
故答案为：（1），（2），（3）．

点评：本题考查子集与交集、并集运算的转换及应用，解题时要认真审题，注意特征函数的定义的灵活运用．