Question

定义全集U的子集P的特征函数fp(x)=

1，  x∈P 0，  x∈?UP

，这里?_UP表示集合P在全集U的补集．已知P?U，Q?U，给出下列命题：其中正确的是（　　）
①若P?Q，则对于任意x∈U，都有f_P（x）≤f_Q（x）；
②对于任意x∈U，都有fC_Up（x）=1-f_p（x）；
③对于任意x∈U，都有f_P∩Q（x）=f_p（x）?f_Q（x）；
④对于任意x∈U，都有f_P∪Q（x）=f_p（x）+f_Q（x）．

• A、①②③
• B、①②④
• C、①③④
• D、②③④

Answer 1

分析：根据特征函数的定义分别进行判断即可．

解答：解：由函数fp(x)=

1，  x∈P 0，  x∈?UP

，可知
①∵P⊆Q，∴若x∈P，则x∈Q，
∵fQ(x)=

1，x∈Q 0，x∈CUQ

，
∴f_P（x）≤f_Q（x）；∴①正确．
②fC_Up（x）=

1，x∈CUP 0， x∈P

=1-f_p（x），∴②正确．

③f_P∩Q（x）=

1，x∈P∩Q 0，x∈CU(P∩Q)

=

1，x∈P∩Q 0，x∈(CUP)∪(CUQ)

=

1，x∈P 0，x∈CUP

•

1，x∈Q 0．x∈CUQ

=f_p（x）•f_Q（x），∴③正确．
④f_P∪Q（x）=

0，x∈P∪Q 1，x∈CU(P∪Q)

≠f_p（x）+f_Q（x），∴④错误．
故正确的是①②③．
故选：A．

点评：本题主要考查与集合运算有关的新定义问题，正确理解题意是解决本题的关键，难度较大，综合性较强．