Question

【题目】已知数列是公差为的等差数列，如果数列满足，则称数列是“可等距划分数列”．

（1）判断数列是否是“可等距划分数列”，并说明理由；

（2）已知，，设，求证：对任意的，，数列都是“可等距划分数列”；

（3）若数列是“可等距划分数列”，求的所有可能值．

Answer 1

【答案】（1）数列是“可等距划分数列”，理由见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）存在等差数列使得不等式成立，进而可知是“可等距划分数列”；

（2）设等差数列，且，可知，得到符合题意的不等式，证得结论；

（3）当时，可得到等差数列满足条件；当时，可得到满足条件；当时，采用反证法，若有等差数列满足条件，由可求得，不满足条件，从而知不合题意，从而得到结果.

（1）存在等差数列，使得

数列是“可等距划分数列”

（2）对任意的，，设

则对任意的，都有

即数列为等差数列

，

即满足

对任意的，，数列都是“可等距划分数列”

（3）当时，对于数列存在等差数列满足条件

当时，对于数列存在等差数列满足条件

当时，若存在等差数列满足

则有

，，与矛盾

当时，若数列不可能是“可等距划分数列”

综上所述，的所有可能值是，