题目内容

已知函数f（x）=（1+x）ln²（x+1）-x²，g（x）= $数学公式$ ．
（Ⅰ）判定f（x）在（0，1]上的单调性；
（Ⅱ）求g（x）在（0，1]上的最小值；
（Ⅲ）若?n∈N^*，（n+a）ln（1+ $数学公式$ ）≤1，求实数a的取值范围．

解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（1+x）ln²（x+1）-x²，（x＞-1）．
∴f^′（x）=ln²（x+1）+2ln（x+1）-2x．
令h（x）=ln²（x+1）+2ln（x+1）-2x，
则h^′（x）= $\text{[math]}$ ．
设u（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，1]，
则 $\text{[math]}$ ，
∴u（x）在（0，1]上单调递减，∴u（x）＜u（0）=0．
∴ $\text{[math]}$ ，
∴h（x）在（0，1]上单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，
∴f^′（x）在（0，1]上单调递减，∴f^′（x）＜f^′（0）=0，
∴f（x）在（0，1]上单调递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（1）≤f（x）＜f（0）=0，即f（x）=（1+x）ln²（x+1）-x²，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴g（x）在（0，1]上单调递减，于是g（1）≤g（x）＜g（0），
∴g（x）在（0，1]上的最小值为g（1）= $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）∵?n∈N^*， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
令Φ（n）= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ∈（0，1]，
则Φ（x）= $\text{[math]}$ ，x∈（0，1]．
由（Ⅱ）可知：Φ（x）在（0，1]上的最小值为 $\text{[math]}$ ，
故Φ（n）的最小值为 $\text{[math]}$ ．
∴a的取值范围为 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）利用多次求导即可得出；
（Ⅱ）通过求导，再利用（Ⅰ）的结论即可求出；
（Ⅲ）变形后利用（Ⅱ）的结论即可．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性与极值是解题的关键．