Question

（2013•浦东新区二模）已知以4为周期的函数f(x)=

m 1-x2 ，x∈(-1，1] -cos πx 2 ，x∈(1，3]

，其中m＞0．若方程f（x）=

x

3

恰有5个实数解，则m的取值范围为（　　）

• A．（

  15

  3

  ，

  8

  3

  ）
• B．（

  15

  3

  ，

  7

  ）
• C．（

  4

  3

  ，

  8

  3

  ）
• D．（

  4

  3

  ，

  7

  ）

Answer 1

分析：作出函数f（x）和y=

x

3

的图象，要想使方程f（x）=

x

3

恰有5个实数解，则需直线y=

x

3

处在函数f（x）在（3，4）内的曲线切线和f（8）之间．

解答：解：作出函数f（x）和y=g（x）=

x

3

的图象如图：若方程f（x）=

x

3

恰有5个实数解，
则直线y=

x

3

处在函数f（x）在（3，4）内的曲线切线和f（8）之间．
∵函数f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（8）=f（0）=m，此时g（x）=

8

3

．
∵f（6）=1，g（6）=2＞f（6），
∴此时两个函数不相交．
当x∈（3，5]时，x-4∈（-1，1]，
∴f（x）=f（x-4）=m

1-(x-4)2

，x∈（3，5]．
由m

1-(x-4)2

=

x

3

，得（9m²+1）²x²+72m²x+135m²=0，
则由△=0，得（72m²）²-4（9m²+1）²×135m²=0，
整理得m2=

135

81

=

15

9

，解得m=

15

3

，
∴要使方程f（x）=

x

3

恰有5个实数解，则

15

3

＜m＜

8

3

，
即m的取值范围为（

15

3

，

8

3

），
故选：A．

点评：本题综合考查了方程根的个数的应用，将方程转化为函数，利用数形结合是解决本题的关键，本题难度较大，综合性较强．