Question

（本题满分16分，其中第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）

设为非零实数，偶函数，.

（1） 求实数的值；

（2） 试确定函数的单调区间（不需证明）；

（3） 若函数在区间上存在零点，试求实数的取值范围.

Answer 1

（本题满分16分，理科：第1小题9分，第2小题7分；文科：第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）

（理科）解：（1）设BC的中点为D，连结AD、DM，则有

 

于是，可知即为AM与侧面BCC₁所成角.

因为，点到平面的距离为，不妨设，.

在Rt△ADM中，.

由,,故.

而当时，，

即

，

所以，点到平面的距离的取值范围是.

（2）解法一：当时，由（1）可知,

故可得,.

    设向量与的夹角为，因为

   

        .

    所以，

故向量与夹角的大小为.

解法二：如图，以中点O为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在直线为轴（其中点为中点），建立空间直角坐标系.

由（1）可知，当时，.

所以有，，，

,，即，.

设向量与夹角为，则

故向量与夹角的大小为.

解法三：如图，过点作//，交于.

联结.因为是正三棱柱，故可得.

    当时，由（1）可知,

故可得.

在等腰三角形中，不难求得

，即异面直线与所成角为，

而图中不难发现，与夹角的大小为异面直线与所成角的补角，即

与夹角的大小为.

与夹角的大小为.