Question

已知向量，，．
（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值；
（2）若△ABC是直角三角形，求实数m的值；
（3）若∠ABC是锐角，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：=（3，1），=（-1-m，-m），=（2-m，1-m）
（1）若A，B，C三点共线，则3（-m）-（-1-m）=0，即-3m+1+m=0，∴m=
（2）设AB⊥BC，根据x₁x₂+y₁y₂=0可得，3（-1-m）+（-m）=0，即-4m-3=0，解得m=-
设BC⊥CA，可得（-1-m）（2-m）+（-m）（1-m）=0，解得m=或m=-
设BA⊥AC，可得3（2-m）+（1-m）=0，即7-4m=0，解得m=；
（3）若∠ABC是锐角，则-3（-1-m）+m＞0，且m≠，
解得m＞-且m≠．
分析：求得=（3，1），=（-1-m，-m），=（2-m，1-m）
（1）利用向量共线的充要条件，可得3（-m）-（-1-m）=0，从而可得结论；
（2）分类讨论，利用向量垂直的充要条件，可得3（-1-m）+（-m）=0，即可得到结论；
（3）利用数量积大于0，及不共线，可得-3（-1-m）+m＞0，且m≠，即可得到结论．
点评：本题考查向量的运算，考查向量共线、垂直的充要条件，属于中档题．