题目内容
(2012•绵阳三模)已知向量
=(sinx,-1),
=(cosx,3).
(I )当
∥
时,求
的值;
(II)已知在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,
c=2asin(A+B),函数f(x)=(
+
)•
,求f(B+
)的取值范围.
m |
n |
(I )当
m |
n |
sinx+cosx |
3sinx-2cosx |
(II)已知在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,
3 |
m |
n |
m |
π |
8 |
分析:(I)由
∥
,可得tanx=-
,再由
=
,运算求得结果.
(II)在△ABC中,由
c=2asin(A+B)利用正弦定理求得sinA=
,可解得 A=
.由△ABC为锐角三角形,得
<B<
,利用两个向量的数量积公式求得函数f(x)=
sin(2x-
)-
.由此可得f(B+
)=
sin2B-
,再根据B的范围求出sin2B的范围,即可求得f(B+
)的取值范围.
m |
n |
1 |
3 |
sinx+cosx |
3sinx-2cosx |
tanx+1 |
3tanx-2 |
(II)在△ABC中,由
3 |
| ||
2 |
π |
3 |
π |
6 |
π |
2 |
| ||
2 |
π |
4 |
3 |
2 |
π |
8 |
| ||
2 |
3 |
2 |
π |
8 |
解答:解:(I)由
∥
,可得3sinx=-cosx,于是tanx=-
.
∴
=
=
=-
.
(II)∵在△ABC中,A+B=π-C,于是sin(A+B)=sinC,
由
c=2asin(A+B)利用正弦定理得:
sinC=2sinAsinC,
∴sinA=
,可解得 A=
. …(6分)
又△ABC为锐角三角形,于是
<B<
,
∵函数f(x)=(
+
)•
=(sinx+cosx,2)•(sinx,-1)
=sin2x+sinxcosx-2=
+
-2=
sin(2x-
)-
.
∴f(B+
)=
sin[2(B+
)-
]-
=
sin2B-
.…(10分)
由
<B<
得
<2B<π,
∴0<sin2B≤1,得-
<
sin2B-
≤
-
,即 f(B+
)的取值范围 (-
,
-
].
m |
n |
1 |
3 |
∴
sinx+cosx |
3sinx-2cosx |
tanx+1 |
3tanx-2 |
-
| ||
3(-
|
2 |
9 |
(II)∵在△ABC中,A+B=π-C,于是sin(A+B)=sinC,
由
3 |
3 |
∴sinA=
| ||
2 |
π |
3 |
又△ABC为锐角三角形,于是
π |
6 |
π |
2 |
∵函数f(x)=(
m |
n |
n |
=sin2x+sinxcosx-2=
1-cos2x |
2 |
sin2x |
2 |
| ||
2 |
π |
4 |
3 |
2 |
∴f(B+
π |
8 |
| ||
2 |
π |
8 |
π |
4 |
3 |
2 |
| ||
2 |
3 |
2 |
由
π |
6 |
π |
2 |
π |
3 |
∴0<sin2B≤1,得-
3 |
2 |
| ||
2 |
3 |
2 |
| ||
2 |
3 |
2 |
π |
8 |
3 |
2 |
| ||
2 |
3 |
2 |
点评:本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,正弦定理,正弦函数的定义域和值域,两个向量的数量积公式的应用,属于中档题.

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