题目内容

(2012•绵阳三模)已知向量
m
=(sinx,-1),
n
=(cosx,3).
(I )当
m
n
时,求
sinx+cosx
3sinx-2cosx
的值;
(II)已知在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,
3
c=2asin(A+B),函数f(x)=(
m
+
n
)•
m
,求f(B+
π
8
)的取值范围.
分析:(I)由
m
n
,可得tanx=-
1
3
,再由
sinx+cosx
3sinx-2cosx
=
tanx+1
3tanx-2
,运算求得结果.
(II)在△ABC中,由
3
c=2asin(A+B)利用正弦定理求得sinA=
3
2
,可解得 A=
π
3
.由△ABC为锐角三角形,得
π
6
<B<
π
2
,利用两个向量的数量积公式求得函数f(x)=
 
2
2
sin(2x-
π
4
)-
3
2
.由此可得f(B+
π
8
)=
2
2
sin2B-
3
2
,再根据B的范围求出sin2B的范围,即可求得f(B+
π
8
)的取值范围.
解答:解:(I)由
m
n
,可得3sinx=-cosx,于是tanx=-
1
3

sinx+cosx
3sinx-2cosx
=
tanx+1
3tanx-2
=
-
1
3
+1
3(-
1
3
)-2
=-
2
9
.   
(II)∵在△ABC中,A+B=π-C,于是sin(A+B)=sinC,
3
c=2asin(A+B)利用正弦定理得:
3
sinC=2sinAsinC,
∴sinA=
3
2
,可解得 A=
π
3
. …(6分)
又△ABC为锐角三角形,于是
π
6
<B<
π
2

∵函数f(x)=(
m
+
n
)•
n
=(sinx+cosx,2)•(sinx,-1)
=sin2x+sinxcosx-2=
1-cos2x
2
+
sin2x
2
-2=
2
2
 sin(2x-
π
4
)-
3
2

∴f(B+
π
8
)=
2
2
sin[2(B+
π
8
)-
π
4
]-
3
2
=
2
2
sin2B-
3
2
.…(10分)
π
6
<B<
π
2
 得
π
3
<2B<π,
∴0<sin2B≤1,得-
3
2
2
2
sin2B-
3
2
2
2
-
3
2
,即 f(B+
π
8
)的取值范围 (-
3
2
2
2
-
3
2
].
点评:本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,正弦定理,正弦函数的定义域和值域,两个向量的数量积公式的应用,属于中档题.
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