Question

已知椭圆的两个焦点分别为和,离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线（）与椭圆交于不同的两点、，且线段 
的垂直平分线过定点，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）求椭圆的标准方程，要找两个等式以确定，本题中有焦点为，说明，又有离心率，即，由此再加上可得结论；（2）直线与圆锥曲线相交问题，又涉及到交点弦，因此我们都是把直线方程（或设出）与椭圆方程联立方程组，然后消去（有时也可消去）得关于（或）的一元二次方程，再设交点为坐标为，则可得，，（用表示），于是中点坐标可得，其中，，而，从而建立了的一个等量关系，在刚才的一元二次方程中，还有判别式，合起来可得出关于的不等式，从而求出其范围.
试题解析：（1）由已知椭圆的焦点在轴上，，，
，，        2分
椭圆的方程为        4分
（2），消去得        6分
直线与椭圆有两个交点，，可得（*）        8分
设，
，中点的横坐标
中点的纵坐标        10分
的中点
设中垂线的方程为：
在上，点坐标代入的方程可得（**）        12分
将（*）代入解得或，
        14分