Question

在△ABC中,已知A+C=2B,tanA·tanC=2+.

(1)求A、B、C的值;

(2)若顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC各边的长.

Answer 1

思路分析:结合题目的条件,由tanA·tanC=2+,A+C=2B,可知B=60°,A+C=120°,

∴可利用两角和的正切公式求tanA+tanC,从而构造方程求A与C的正切值,再求角A与C.

解:(1)∵A+C=2B,A+C+B=180°,

∴B=60°.∴A+C=120°.

∴tan(A+C)==-,

    则tanA+tanC=3+.

    那么tanA、tanC即为x²-(3+)x+(2+)=0的两根.

∴或

∴或

(2)如图,当时,

∵CD=4,∴CB=8,BD=4,AD=4,AC=4.

∴AB=4+4.

    当时,如图.

∵CD=4,∴CB=8,BD=4,

AC====

=4(-)=4(-1).

∴AB=BD+AD=4+4(2-)=8-8.