Question

如图，在棱长为1的正方体AC₁中，E、F分别为A₁D₁和A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求平面BDD₁与平面BFC₁所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅱ）若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的最大值、最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定平面BDD₁的一个法向量、平面BFC₁的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BDD₁与平面BFC₁所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅱ）设P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），确定y的范围，表示出EP，即可求EP的最大值、最小值．
解答：解：（I）平面BDD₁的一个法向量为
设平面BFC₁的法向量为
∴
取z=1得平面BFC₁的一个法向量
∴
∴所求的余弦值为…（5分）
（II）设P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），，
由得
即，
∵0≤x≤1，∴，∴
∴
∵，∴当时，∴，当时，∴…（10分）
点评：本题考查向量知识的运用，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．