Question

如图，BD是正方形ABCD的对角线，

BD

的圆心是A，半径为AB，正方形ABCD以AB为轴旋转一周，求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比．

Answer 1

分析：设正方形ABCD的边长为1，可得图Ⅰ旋转所得圆锥的体积为V₁=

1

3

π．图II旋转所得旋转体是半球与图Ⅰ旋转所得圆锥的差，因此它的体积V₂=V_半球-V₁=

1

3

π．图III旋转所得旋转体是圆柱与半球的差，因此它的体积V₃=V_圆柱-V_半球=

1

3

π，由此即可得到三部分旋转所得旋转体的体积之比．

解答：解：设正方形ABCD的边长为1，可得
图Ⅰ旋转所得旋转体为以AB为轴的圆锥体，高AB=1且底面半径r=1
∴该圆锥的体积为V₁=

1

3

π×AD²×AB=

1

3

π；
图II旋转所得旋转体，是以AB为半径的一个半球，减去图Ⅰ旋转所得圆锥体而形成，
∴该圆锥的体积为V₂=

1

2

×

4

3

π×AB²-V₁=

2

3

π-

1

3

π=

1

3

π；
图III旋转所得旋转体，是以AB为轴的圆柱体，减去图II旋转所得半球而形成，
∴该圆锥的体积为V₃=π×AD²×AB-V_半球=π-

2

3

π=

1

3

π
综上所述V₁=V₂=V₃=

1

3

π，
由此可得图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比为1：1：1．

点评：本题给出正方形ABCD被圆弧分成的三部分，求它们旋转而成的几何体的体积之比，着重考查了圆柱、圆锥和球的体积公式等知识，属于基础题．