Question

函数y=lnx关于直线x=1对称的函数为f（x），又函数的导函数为g（x），记h（x）=f（x）+g（x）．
（1）设曲线y=h（x）在点（1，h（1））处的切线为l，l与圆（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函数h（x）的单调区间；
（3）求函数h（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求过（1，h（1））点的切线方程，根据l与圆（x+1）²+y²=1相切，利用点线距离等于半径可求a的值；
（2）先求导函数，结合函数的定义域，利用导数大于0的函数的单调增区间，导数小于0得函数的单调减区间
（3）根据（2）中函数的单调区间，结合区间[0，1]进行分类讨论，从而可求h（x）的最大值．
解答：解：（1）由题意得f（x）=ln（2-x），g（x）=ax，
∴h（x）=ln（2-x）+ax．
∴，过（1，h（1））点的直线的斜率为a-1，
∴过（1，h（1））点的直线方程为y-a=（a-1）（x-1）．
又已知圆心为（-1，0），半径为1，
由题意得，解得a=1．
（2）．
∵a＞0，∴．
令h′（x）＞0，∴；
令h′（x）＜0，∴，
所以，是h（x）的增区间，是h（x）的减区间．
（3）①当，即时，h（x）在[0，1]上是减函数，
∴h（x）的最大值为h（0）=ln2．
②当，即时，，h（x）在上是增函数，在上是减函数，
∴当时，h（x）的最大值为．
③当，即a≥1时，h（x）在[0，1]上是增函数，
∴h（x）的最大值为h（1）=a．
综上，当时，h（x）的最大值为ln2；
当时，h（x）的最大值为2a-1-lna；
当a≥1时，h（x）的最大值为a．
点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间与最值，分类讨论是解题的关键与难点．