题目内容

已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax，其中a为不大于零的常数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：(1+
1
22
)(1+
1
42
)•…•(1+
1
22n
)＜e（n∈N*，e为自然对数的底数）．
（1）f′(x)=
2x
1+x2
+a=
ax2+2x+a
1+x2
，（1分）
①当a=0时，∵f'（x）＞0?2x＞0，即x＞0，f'（x）＜0?2x＜0，即x＜0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；（3分）
②当
a＜0
△≤0
，即a≤-1时，f′（x）≤0对x∈R恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；（5分）
③当-1＜a＜0时，∵f′（x）＞0?ax2+2x+a＞0?
-1+
1-a2
a
＜x＜
-1-
1-a2
a
，
f′（x）＜0?ax2+2x+a＜0?x＜
-1+
1-a2
a
或x＞
-1-
1-a2
a
，
∴f(x)在(
-1+
1-a2
a
，
-1-
1-a2
a
)上单调递增，
在(-∞，
-1+
1-a2
a
)和(
-1-
1-a2
a
，+∞)上单调递减；  （7分）
综上所述，当a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
当-1＜a＜0时，f（x）在(
-1+
1-a2
a
，
-1-
1-a2
a
)上单调递增，
在(-∞，
-1+
1-a2
a
)和(
-1-
1-a2
a
，+∞)上单调递减．
当a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）上单调递减；（8分）
（2）由（1）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0得：ln（1+x2）＜x，（10分）
∴ln[(1+
1
22
)(1+
1
42
)•…•(1+
1
22n
)]=ln(1+
1
22
)+ln(1+
1
42
)+…+ln(1+
1
22n
)＜
1
2
+
1
4
+…+
1
2n
=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
=(1-
1
2n
)＜1=lne，
∴(1+
1
22
)(1+
1
42
)•…•(1+
1
22n
)＜e（14分）
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-2与曲线y=f（x）在（-∞，0）上有公共点，求k的取值范围．
已知函数f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函数f（x）图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x0=
x1+x2
2
时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{
1
f(n)
}的前n项和为Sn，则S2012的值为（　　）
已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．
已知函数f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，
6
）上单调递减，在（
6
，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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