题目内容

(1)证明：到直线的距离公式为．

(2)已知：在空间直角坐标系中，三元一次方程（其中为常数，且不全为零）表示平面，为该平面的一个法向量．请类比点到直线的距离公式，写出空间的点到平面的距离公式，并为加以证明．

(1)证法一：设R是直线上任意一点，则R(x,y),直线的方向向量为,则可取直线法向量为,………………2分

，（提醒Q不一定在直线上）……3分

∴

……（6分）

（说明：证法一其实是求在直线的单位法向量上的投影的绝对值，借助了向量的数量积运算。）

证法二：设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，

由得.

所以，｜｜＝｜｜＝

｜｜＝｜｜＝……3分

｜｜＝×｜｜    

 由三角形面积公式可知：·｜｜＝｜｜·｜｜

所以

可证明，当A=0时仍适用。……6分

(2)  ……８分

设是平面上任意一点，因为为该平面的一个法向量,

，

∴

……（１３分）

练习册系列答案
相关题目
已知直线方程为（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0．
（1）证明：直线恒过定点；
（2）m为何值时，点Q（3，4）到直线的距离最大，最大值为多少？
（3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A．B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．
我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题．
（1）设F1、F2是椭圆M：
x2
25
+
y2
9
=1的两个焦点，点F1、F2到直线L：
2
x-y+
5
=0的距离分别为d1、d2，试求d1•d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系．
（2）设F1、F2是椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点，点F1、F2到直线L：mx+ny+p=0（m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1•d2的值．
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明．
（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）．
我们知道，直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面的问题．
（1）设F1、F2是椭圆M：
x2
25
+
y2
9
=1的两个焦点，点F1、F2到直线l：
2
x-y+
5
=0的距离分别为d1、d2，试求d1•d2的值，并判断直线l与椭圆M的位置关系．
（2）设F1、F2是椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点，点F1、F2到直线l：mx+ny+p=0（m、n不同时为零）的距离分别为d1、d2，且直线l与椭圆M相切，试求d1•d2的值．
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的相交、相离位置关系的充要条件（不必证明）．
（1）证明：P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=
|Ax0+By0+C|
A2+B2
．
（2）已知：在空间直角坐标系中，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（其中A，B，C，D为常数，且A，B，C不全为零）表示平面，
n
=(A，B，C)为该平面的一个法向量．请类比点到直线的距离公式，写出空间的点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式，并为加以证明．

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