题目内容
（1）证明：P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=
．
（2）已知：在空间直角坐标系中，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（其中A，B，C，D为常数，且A，B，C不全为零）表示平面，
=(A，B，C)为该平面的一个法向量．请类比点到直线的距离公式，写出空间的点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式，并为加以证明．
| |Ax0+By0+C| | ||
|
（2）已知：在空间直角坐标系中，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（其中A，B，C，D为常数，且A，B，C不全为零）表示平面，
| n |
分析：（1）证法一利用向量的数量积运算，求出
在直线的单位法向量上的投影的绝对值即可；
证法二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R（x1，y0）；作y轴的平行线，交l于点S（x0，y2），分别求出|
|、|
|、|
|由三角形面积公式可知：d•|
|=|
|•|
|即可得出．
（2）类比（1）的证明方法和结论，可设R（x，y，z）是平面Ax+By+Cz+D=0上任意一点，
=(A，B，C)为该平面的一个法向量，
=(x-x0，y-y0，z-z0)，
Ax+By+Cz=-D，再利用公式d=
即可得出．
| PR |
证法二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R（x1，y0）；作y轴的平行线，交l于点S（x0，y2），分别求出|
| RS |
| PR |
| PS |
| RS |
| PR |
| PS |
（2）类比（1）的证明方法和结论，可设R（x，y，z）是平面Ax+By+Cz+D=0上任意一点，
| n |
| PR |
Ax+By+Cz=-D，再利用公式d=
|
| ||||
|
|
解答：（1）证法一：设R是直线上任意一点，则R（x，y），直线的方向向量为
=(-B，A)，则可取直线法向量为
=(A，B)，
=(x-x0，y-y0)，（提醒Q不一定在直线上），
∴d=
=
=
．
证法二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R（x1，y0）；
作y轴的平行线，交l于点S（x0，y2），
由
得x1=
，y2=
．
∴|
|=|x0-x1|=|
|，
|
|=|y0-y2|=|
|，
|
|=
=
×|Ax0+By0+C|
由三角形面积公式可知：d•|
|=|
|•|
|
∴d=
可证明，当A=0时仍适用．
（2）d=
，
设R（x，y，z）是平面Ax+By+Cz+D=0上任意一点，
∵
=(A，B，C)为该平面的一个法向量，
=(x-x0，y-y0，z-z0)，Ax+By+Cz=-D
∴d=
=
=
．
| m |
| PQ |
| PR |
∴d=
|
| ||||
|
|
| |A(x-x0)+B(y-y0)| | ||
|
| |Ax0+By0+C| | ||
|
证法二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R（x1，y0）；
作y轴的平行线，交l于点S（x0，y2），
由
|
| -By0-C |
| A |
| -Ax0-C |
| B |
∴|
| PR |
| Ax0+By0+C |
| A |
|
| PS |
| Ax0+By0+C |
| B |
|
| RS |
| PR2+PS2 |
| ||
| |AB| |
由三角形面积公式可知：d•|
| RS |
| PR |
| PS |
∴d=
| |Ax0+By0+C| | ||
|
可证明，当A=0时仍适用．
（2）d=
| |Ax0+By0+Cz0+D| | ||
|
设R（x，y，z）是平面Ax+By+Cz+D=0上任意一点，
∵
| n |
| PR |
∴d=
|
| ||||
|
|
| |A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)| | ||
|
| |Ax0+By0+Cz0+D| | ||
|
点评：本题考查了点到直线的距离公式与点到平面的距离公式d=
的证明方法、类比推理等基础知识与基本技能方法，属于难题．
|
| ||||
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