Question

已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，并且S_n+1=4a_n+2(n=1,2,…),a₁=1.

(1)设b_n=a_n+1-2a_n(n=1,2,…),求证:{b_n}是等比数列;

(2)设c_n=(n=1,2,…),求证:{c_n}是等差数列;

(3)求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式.

Answer 1

(1)证明:∵S_n+1=4a_n+2,①?

∴S_n+2=4a_n+1+2.        ②?

②-①得S_n+2-S_n+1=4a_n+1-4a_n(n=1,2,…),??

即a_n+2=4a_n+1-4a_n,a_n+2-2a_n+1=2(a_n+1-2a_n).?

∵b_n=a_n+1-2a_n(n=1,2,…),?

∴b_n+1=2b_n.由此可知，数列{b_n}是公比为2的等比?数列.??

由S₂=a₁+a₂=4a₁+2,又a₁=1,得a₂=5,?

∴b₁=a₂-2a₁=3.?

∴b_n=3·2^n-1?.?

(2)证明:∵c_n= (n=1,2,…),?

∴c_n+1-c_n=-==.?

将b_n=3·2^n-1代入，得c_n+1-c_n= (n=1,2,…),由此可知，数列{c_n}是公差为的等差数列，c₁==,?

故c_n=+(n-1)= n-.

(3)解析:∵c_n=n-= (3n-1),?

∴a_n=2ⁿ·c_n=(3n-1)·2^n-2(n=1,2,…).?

当n≥2时，S_n=4a_n-1+2=(3n-4)·2^n-1+2,由于S₁=a₁=1也适合此式，故前n项和公式为S_n=(3n-4)·2^n-1+2.