Question

如图，在△ABC中，BC边上的点D满足BD=2DC，以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A，过点B作BE⊥CA于点E，BE交圆D于点F．
（I）求∠ABC的度数：
（II）求证：BD=4EF．

Answer 1

解：（Ⅰ）连接OA、AD．
∵AC是圆O的切线，OA=OB，
∴OA⊥AC，∠OAB=∠OBA=∠DAC，
又AD是Rt_△OAC斜边上的中线，
∴AD=OD=DC=OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
故∠ABC= ∠AOD=30°．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，在Rt_△AEB中，∠EAB=∠ADB=60°，
∴EA= AB= × BD= BD， EB= AB= × BD= BD，
由切割线定理，得EA²=EF×EB，
∴ BD²=EF× BD，
∴BD=4EF．