Question

已知f(x)＝lnx，g(x)＝x²＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)、g(x)的图像都相切，且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1．

(Ⅰ)求直线l的方程及m的值；

(Ⅱ)若h(x)＝f(x＋1)－(x)，求函数h(x)的最大值；

(Ⅲ)求证：对任意正整数n，总有．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)依题意知直线l的斜率 　　∵，故直线l与函数的图像的切点坐标是(1，0) 　　∴直线l的方程为　2分 　　又∵直线l与g(x)的图像也相切 　　∴由　得 　　令 　　　∴解得　5分 　　(Ⅱ) 　　∴ 　　∴　7分 　　， 　　 　　∴在上单调递增，在上单调递减 　　∴当时，h(x)取得最大值　10分 　　(Ⅲ)∵由(II)知：当时，，即 　　∴当时，，当且仅当时等号成立 　　∵，故 　　∴