Question

【题目】设函数.

（1）若，证明：；

（2）已知，若函数有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）当时，利用导数求得函数的最大值，由此证得不等式成立.（2）先求得的表达式，将零点问题转化为有两个不相等的实根来解决.显然是方程的根.当，构造函数，利用导数来求得当有一个不为零的零点时的取值范围.

证明：（1）当时，，

所以，

所以当时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减.

所以当时，函数有极大值，也为最大值，

所以最大值为，

所以.

（2）因为函数有两个零点可转化为有两个零点，即关于的方程有两个不相等的实根，

易知0为方程的一个根，此时.

当时，只需有一个不为0的零点即可，

当时，，

故为减函数，

因为 ，，

故在上仅有1个零点，且不为0，满足题意；

当时，，不合题意；

当时，， ，

，根据零点的存在性定理可知在上至少有1个零点，当时，为负数，故在上也有零点，故不合题意.

综上，.