题目内容

15．证明二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）在[-$\frac{b}{2a}$，+∞）上是增函数．

分析 采用定义法证明，先任取x1，x2∈[-$\frac{b}{2a}$，+∞），且x1＜x2，再求f（x1）-f（x2）的差，根据定义即可证明出．

解答 解：任取x1，x2∈[-$\frac{b}{2a}$，+∞），且x1＜x2，
f（x1）=a${{x}_{1}}^{2}$+bx1+c，f（x2）=a${{x}_{2}}^{2}$+bx2+c，
f（x1）-f（x2）=a（x12-x22）+b（x1-x2）=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]
由x1＜x2，x1-x2＜0，而x1＞-$\frac{b}{2a}$，x2＞-$\frac{b}{2a}$，所以x1+x2＞-$\frac{b}{a}$，
又a＞0，所以a（x1+x2）＞（-$\frac{b}{a}$）•a=-b，从而a（x1+x2）+b＞0，
由此可知f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）在[-$\frac{b}{2a}$，+∞）上是增函数．

点评 本题考查函数单调性的判断与证明，求关键是理解并掌握用定义法证明的规则及证明的步骤，用定义法证明其步骤是：任取，作差，整理，判号，得出结论，其中判号过程易错．

练习册系列答案
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