Question

【题目】已知函数，，，其中e为自然对数的底数．

求函数的单调区间；

求证：；

若恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）增区间为，减区间为； （2）见解析；（3）.

【解析】

（1）对求导，由导函数的符号来确定的单调区间；（2）构造新的函数，通过求导求得，得到所证明的结论；（3）采用分离变量的方式，得到，设，通过三次求导运算，得到的单调性，从而求得，则，得到取值范围。

函数的导数为，

由，可得；由，可得；

即的单调递增区间为，单调递减减区间为；

证明：设，

可得，

当时，，，递增；

当时，，，递减；

可得的最小值为，

即有，即为，可得；

恒成立恒成立，

令，，

令，，

设，可得，当时，递增，可得，

即有，即有，在递增，，

而在上，；在递减；

在上，在递增，可得的最小值为，即，

综上可得k的取值范围是