Question

（2013•南通三模）各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₂-a₁=1．当a₃取最小值时，数列{a_n}的通项公式a_n=

2^n-1

．

Answer 1

分析：设出等比数列的公比，代入a₂-a₁=1后求出首项和公比的关系，把a₃用公比表示，利用二次函数求最值求出使a₃最小的q的值，则通项公式可求．

解答：解：设等比数列的公比为q（q＞0），由a₂-a₁=1，得a₁（q-1）=1，
所以a1=

1

q-1

．
a3=a1q2=

q2

q-1

=

1

- 1 q2 + 1 q

（q＞0），
而-

1

q2

+

1

q

=-(

1

q

-

1

2

)2+

1

4

，当q=2时有最大值

1

4

，
所以当q=2时a₃有最小值4．
此时a1=

1

q-1

=

1

2-1

=1．
所以数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1．
故答案为2^n-1．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了利用配方法求二次函数的最值，是基础题．